matemáticas, edu-reforma y modos de vida

Lugares geométricos: ¿a quién le importan?



Apertura

Es muy conocido el lugar geométrico de un punto que se mueve permaneciendo siempre a la misma distancia de sendos puntos fijos A y B. Es decir, el punto X se mueve en el plano de tal manera que AX=XB o, equivalentemente, AX-XB=0. Bueno, quiero decir, ...muy conocido para quien ya lo ha visto y usado alguna vez o muchas veces. Se trata de la mediatriz del segmento AB, es decir la perpendicular a AB por su punto medio.

Desarrollo

La forma analítica de ver este resultado es ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos A y B en la forma más simple posible: A=(a,0) y B=(b,0). Entonces, si X=(x,y), aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para obtener

(x-a)^2+y^2=(x-b)^2+y^2,

de donde obtenemos

x-a=x-b o x-a=-x+b.

De la primera ecuación se obtiene a=b y se tiene que no hay segmento AB pues ambos puntos coinciden (y nada podemos concluir).

De la segunda se obtiene x=(a+b)/2. Y éste es el resultado que buscamos.

Pero este resultado analítico requiere de una "traducción". Primero hay que "leer" en él que si la abscisa (del punto X que se mueve) permanece constante, entonces el punto X describe una recta perpendicular al eje x (se mueve paralelo al eje y pues
siempre permanece a la misma distancia (a+b)/2 de él). En segundo lugar hay que "leer" que (a+b)/2 es el punto medio entre A y B.

Cierre

Pero, ¡momento! este discurso está planteado desde el punto de vista del profesor. Veamoslo ahora desde el punto de vista del adolescente de 16 que está tomando su primer curso de geometría analítica. ¿Qué sabe y qué no sabe?

Suponiendo que entiende el lenguaje natural del idioma español, hay de cualquier manera algunos términos que posiblemente no conoce:

¿lugar geométrico?
¿distancia?
¿putos fijos?
¿mediatriz?
¿coordenadas?
¿punto medio?
¿forma analítica?
¿plano cartesiano?
¿abscisa?

El profesor que reflexione sobre estos posibles desconocimientos puede quedar paralizado y concluir que la educación matemática es imposible. Porque, además, la reforma educativa vigente podría estar exigiendo no sólo que aprenda esos
conceptos sino que los aprenda significativamente.

Pero "significativamente" es un adjetivo con mil interpretaciones...
y la dominante parece ser la de 1)formar equipos, 2)involucrarlos en alguna actividad que se crea adecuada, 3)discusión y 4)conclusión...

Y la clave de esta interpretación es la de "actividad", de tal manera que el aprendizaje de contenidos relevantes (punto de vista de la disciplina) ha sido sustituido, en la práctica, por ejecución de actividades significativas para el alumno (punto de vista de los expertos en educación). Ni bueno ni malo es sólo una tendencia de la educación contemporánea.

Apertura 2

Pero veamos este otro lugar geométrico. Datos: segmento AB, constante k, el punto X se mueve de tal manera que AX^2-XB^2=k.

Incógnita: ¿Qué lugar geométrico describe X?

Desarrollo 2

Solución: (Por casos extremos)

Si k=AB^2 entonces AX^2=XB^2+AB^2 y se ve (evocando el teorema de Pitágoras) que el lugar geométrico es una perpendicular a AB por B.

Si k=-AB^2 entonces AX^2+AB^2=XB^2 y se ve (de nuevo por Pitágoras) que el lugar geométrico es una perpendicular al segmento AB pero ahora por A.

Si k=0 entonces se tiene la mediatriz como lugar geométrico descrito por el punto X.

De esos tres casos extremos se puede elaborar la conjetura de que el lugar geométrico buscado es una perpendicular al segmento AB. Y también esta otra idea: k depende del cruce (y el cruce depende de k), de la intersección de la perpendicular con el segmento (con la recta, mejor dicho) AB. (Supongamos que cruza en X', entonces k=AX'^2-XB'^2.)

Se deja como ejercicio para el lector la demostración analítica con X=(x,y), A=(a,0), B=(b,0) y con k cualquiera, de donde debería obtenerse --después de hacer un poco de algebra-- 2(a-b)x=a^2-b^2+k. Como ejercicio también se propone "leer" aquí
la interpretación geométrica en dos partes como en el caso de la mediatriz: ¿cómo sabemos que el lugar geométrico es perpendicular al segmento AB? ¿cómo sabemos dónde corta a la recta AB?

Cierre 2

Me gustaría subrayar aquí, como un comentario de clausura, que en la actividad de solución de problemas de matemáticas escolares se tienen tres momentos bien definidos: una formulación (analítica o sintética) del problema --que usa los datos para definir un plan de solución--, un seguimiento del plan, y una interpretación del resultado que debería responder a la pregunta planteada en el enunciado.

Y a la pregunta del experto en educación "¿en qué se aplica todo esto?", se respondería con "es un entrenamiento". Y si el experto dijera: ¿Un entrenamiento de qué y para qué? Bueno, se trata de un entrenamiento en habilidades cognitivas, al
tiempo que se está entrenando al aprendiz en mostrarle las potencialidades del razonamiento simbólico de las matemáticas.

Y si insiste: ¿Y todo esto en que le va a servir en su vida de adulto? Bueno, todo depende de su modo de vida y de qué prácticas específicas se den dentro de ella... ¿a tí de qué te ha servido no haber desarrollado esas habilidades?

JMD en VL los saluda

(y les obsequia esta foto de cuando fue a comer quesadillas de flor de calabaza a la Facultad de Ciencias de la UNAM --octubre 2005)

Efecto de retrospectiva en educación matemática

Efecto de retrospectiva en educación matemática

Por alguna razón (documentada en la literatura de la psicología cognitiva por Daniel Kahneman) muchos pedagogos creen que la solución de un problema matemático (de matemáticas escolares) puede ser descubierta por cualquier aprendiz. Pero es fácil comprobar que incluso el profesor puede tener dificultades para descubrirla (o redescubrirla).

En estos días estaba diseñando un módulo de instrucción sobre el uso de los números complejos en la solución de problemas geométricos. En cierto momento se requería justificar (demostrar) que la multiplicación por el complejo z = r(cost + isent) ejecuta dos acciones sobre el otro complejo z' (multiplicado por z): lo alarga r veces y lo gira t grados.

Y la demostración de este resultado necesitaba, a su vez, las fórmulas del seno y el coseno de la suma de ángulos. Unas fórmulas ampliamente usadas sin que nadie se pregunte el porqué son válidas. Son unas fórmulas en cierto modo ya "naturales", su uso está nauralizado en la solución de problemas. Pero, considerando que la audiencia a que se dirige el módulo de instrucción que me ocupaba es la de adolescentes interesados en las matemáticas de concurso, entonces yo mismo sentí la necesidad de demostrar esas fórmulas. (Aquí entra el juicio personal, pues es difícil decidir en una situación didáctica qué decir y qué callar... pero...)

Y me dije: "pan comido". Esto debe estar muy fácil... Pero no. La idea clave de la demostración no me llegó, a pesar de que estaba convencido de que debía ser muy fácil. Así que tuve que recurrir a un libro. Encontré adecuado el Dolciani (Modern Introductory Analysis), un muy buen libro de matemáticas escolares a pesar de ser setentero (quiero decir, de la época de la moda axiomática).

Yo había visto y demostrado el teorema alguna vez, así que al consultar el Dolciani experimenté un redescubrimiento y me sentí un poco avergonzado conmigo mismo. ¡Porque la idea clave es extremadamente simple! (Se trata de la clásica: "expresa la cantidad de dos modos diferentes, igualas y despejas") Y sí, es difícil no concluir --en estos casos-- que "a cualquiera se le puede ocurrir".

El lector puede considerar la siguiente figura como una prueba "casi sin palabras" de la fórmula del coseno de la suma de ángulos. Sólo tiene que "ver" que PQ=P'Q', aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos y despejar.



Pero lo que deseo destacar aquí es que ese sentimiento de "a cualquiera se le puede ocurrir" es una especie de conclusión en reversa: "ahora que ví la solución me parece trivial; por lo tanto siempre fue trivial".

Permítaseme terminar estas reflexiones con una moraleja didáctica. Lo que parece ser el caso, tratando de escapar a las "ilusiones ópticas" del efecto de retrospectiva, es que una idea, por más simple que pueda parecer vista en retrospectiva, puede permanecer inaccesible para la cognición del aprendiz sin la ayuda de una sugerencia de parte del instructor. Pero también se puede afirmar que tales ideas son ejemplares y deben mantenerse accesibles en la memoria del cognizador interesado en las matemáticas de concurso. ¿Cómo hacerlo? Bueno, eso sería tema de otro post, pero podría ayudar empezar con un inventario de ideas clave para la solución de problemas de concurso --a la manera en que un jugador de ajedrez estudia incansablemente las aperturas, los finales, y las tácticas del medio juego.

JMD en VL les desea un feliz (o de perdido no tan infeliz) 2006