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Tuesday, February 21, 2006

Congruencia de Triángulos

Sobre la noción de congruencia de triángulos

Igualdad y congruencia

El concepto de congruencia está emparentado con el de igualdad y se espera que el aprendiz conozca ésta, ya sea por su significado intuitivo a partir del lenguaje natural, o bien a través de su uso en la aritmética. Es costumbre que en geometría se hable de congruencia en vez de igualdad. Por ejemplo dos segmentos son congruentes si y sólo si tienen la misma medida –y lo mismo es cierto para ángulos. Pero en el caso de dos triángulos la definición es más complicada pues no hay una medida (número) que defina a un triángulo.

El triángulo como configuración de puntos y rectas

Como se sabe, hay diversas clasificaciones de triángulos que dan cuenta de su diversidad de forma: de acuerdo a la medida de sus ángulos pueden ser obtusángulos, rectángulos, acutángulos; de acuerdo a la relación de las medidas de sus lados pueden ser equiláteros, isósceles, escalenos. Es por eso que una noción previa a la definición de congruencia de triángulos es la de correspondencia. Y esto porque un triángulo (y cualquier polígono) es una configuración que consiste de puntos y segmentos de recta (lados) que unen pares de puntos.

Congruencia de triángulos como noción intuitiva y su formalización

Después de haber descubierto el hecho de que dos triángulos son congruentes (iguales) es conveniente poner sus vértices en correspondencia. Decir que el triángulo ABC está en correspondencia con el IJK significa que la correspondencia entre sus vértices es A-I, B-J y C-K. Y en esta correspondencia queda implícita la correspondencia entre sus lados: AB-IJ, BC-JK y CA-KI. Pero también queda implícita la correspondencia entre sus ángulos: el ángulo en A es congruente con el ángulo en I, etc. (Nota: no todos los textos siguen esta convención, es decir, aun cuando afirmen “ABC está en correspondencia con IJK” no respetan las reglas anteriores de las correspondencias implícitas –una lástima… pero qué se le va a hacer.)

Y cuando digo “descubierto” quiero decir que el cognizador descubre la congruencia por métodos intuitivos e informales, o quizá sea mejor decir, “la ve”. Pero una vez que “ve” la congruencia es conveniente formalizarla. Es conveniente porque una vez establecida la correspondencia y la congruencia, en la forma en que se explica arriba, ya no es necesario ver la figura para plantear ecuaciones o razones, pues las correspondencias entre vértices y lados quedan implícitas en la correspondencia entre los triángulos como ya se explicó.

Para poder ver la congruencia es necesario buscarla, es decir, algo (una frase, un dato,…) en el enunciado del problema debe sugerir que se puede usar congruencia para su solución. Y para encontrarla, una vez que se está buscando, es conveniente usar la definición intuitiva: dos triángulos son congruentes si pueden hacerse coincidir uno sobre el otro mediante giros, traslaciones y/o reflexiones. (La definición formal es: dos triángulos son congruentes si, en la correspondencia entre sus vértices, resultan iguales los lados correspondientes y los ángulos correspondientes.) En una congruencia de triángulos entonces se tienen seis igualdades, tres lados y tres ángulos. Es por eso muy útil tener criterios que nos digan si dos triángulos son congruentes sin tener que verificar las seis igualdades.

Criterios de congruencia como postulados

El criterio (principio) de congruencia más básico es posiblemente el denominado criterio LAL (lado-ángulo-lado) que nos dice que si, en una correspondencia de triángulos, dos lados de uno y el ángulo comprendido entre ellos son iguales a sus correspondientes elementos en el otro, entonces los dos triángulos son congruentes. Algunos textos de geometría –los más formales, en el sentido lógico— toman este criterio como axioma y demuestran los dos restantes, el ALA y el LLL. Otros textos –la mayoría— postulan como verdaderos los tres criterios. Es recomendable entonces que el aprendiz los tome los tres como postulados pues, si de cualquier manera se va a tomar uno como postulado…



En la figura, los triángulos ABC y AB’C’ están en correspondencia. El segundo es el resultado de haber girado 90 grados el primero. Si el segmento BC faltara, de cualquier manera la distancia entre A y B se mantendría después del giro.

Instancia de uso (clásica) del criterio LAL

Teorema del triángulo isósceles:

Si un triángulo es isósceles entonces sus ángulos en la base son iguales. (Nota: se acostumbra entender por base, el tercer lado –los dos primeros son los que sabemos iguales.)

Demostración:

Advertencia: Esta instancia de uso es algo desconcertante cuando se ve por primera vez, así que se pide la cooperación cognitiva del lector. (El desconcierto se debe quizá a que el triángulo se pone en correspondencia consigo mismo, lo cual no está prohibido pero como que uno piensa que esa prohibición quedaba implícita en la definición de congruencia.)



El isósceles que se muestra puede llamarse triángulo ABC. Pero, recorriendo sus vértices en el sentido opuesto puede llamarse triángulo BAC. Es pues válida la correspondencia ABC-BAC.

Puesto que el triángulo es isósceles, CA=CB y BC=AC. También, como se trata del mismo triángulo, el ángulo formado en C es idéntico a sí mismo. Se tiene pues una correspondencia LAL y los dos triángulos son congruentes. Pero entonces los demás elementos puestos en correspondencia son también iguales. En particular el ángulo en A es igual al ángulo en B.

Segunda instancia de uso (también clásica) del criterio LAL

En un triángulo isósceles, la bisectriz del vértice opuesto a la base divide al triángulo en dos congruentes.

Demostración:

En la figura de arriba trácese la bisectriz del ángulo C y suponga que corta al lado AB en M. Por hipótesis los ángulos ACM y MCB son iguales. Esto sugiere la correspondencia C-C. Por otro lado, también por hipótesis, AC=CB. Esto sugiere la correspondencia A-B, y el otro punto común a los triángulos formados por la bisectriz es M, lo cual sugiere la correspondencia M-M.

Así pues, probemos la correspondencia ACM-BCM. Tenemos, AC=BC y CM=CM, falta ver si el ángulo formado por AC y CM es igual al formado por BC y CM. Pero eso es cierto por ser CM bisectriz. Así que podemos usar el criterio LAL para establecer que los triángulos puestos en correspondencia son congruentes.

De esta congruencia así establecida se siguen varios

Corolarios (para isósceles):

a) La bisectriz es también mediatriz (pues los ángulos AMC y BMC son iguales y su suma es un llano, pero también los lados correspondientes AM y BM son iguales, así que MC es la perpendicular por el punto medio del la base)

b) La bisectriz es también mediana (pues AM=BM)

c) La bisectriz es también altura (pues los ángulos AMC y BMC son rectos)

Comentarios finales

Se puede deducir el criterio LLL a partir del LAL aplicando las propiedades del triángulo isósceles: los triángulos en correspondencia LAL se colocan como se muestra en la figura y…



Puesto que AB=IJ y AB=IK, tenemos los isósceles ABI y ACI. Pero entonces sus ángulos en la base son iguales. Sumando, se obtiene que los ángulos en A y en I son iguales y estamos ya en posibilidad de aplicar el criterio LAL para asegurar que los triángulos ABC e IJK son congruentes.

Digamos, para finalizar, que la noción de congruencia de triángulos está muy cerca de los fundamentos de la geometría euclidiana. Pero el aprendiz no necesita justificar todo, sobre todo los teoremas cercanos a los fundamentos. Es mejor, desde el punto de vista de solución de problemas, que tome los criterios de congruencia como axiomas y los use sin ningún remordimiento en la solución de problemas. Esto le permitirá avanzar en su apropiación de herramientas teóricas sin perder tiempo en formalismos. También como dado se debe tomar la igualdad de ángulos formados por dos paralelas y una transversal. Desde luego que es conveniente que alguna vez vea las demostraciones de los teoremas básicos, pero eso puede esperar… Mientras tanto, que resuelva problemas…

JMD en VL los saluda

4 Comments:

Blogger Ferney said...

Me parece que para mayor atencion se necesita ver las demostraciones mas graficas con un cuadro donde se plantee la hipotesis y la tesis.

8:36 AM

 
Blogger Miguel said...

La paguina esta muy bn solo faltaria poner la explicacion de todos los criterios de congruencia LLL,LAL,ALA pero todo lo demas mui completo

10:39 AM

 
Blogger elsiotaku said...

Encontré la información que buscaba, muchas gracias.

4:31 AM

 
Blogger galle.toso said...

no pues graxias si sta bien

7:21 PM

 

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