Un problema desargueano

Se ha dicho que la geometría proyectiva es una ciencia nacida del arte (Morris Kline: "La ciencia nacida del arte resultó ser ella misma un arte") y con razón. El único problema es que la apreciación del arte requiere de un largo aprendizaje. Y lo mismo es cierto de la geometría. (Olvidemos, aunque sea por un momento, las falsas promesas del populismo pedagógico de las modas teóricas en educación --en su búsqueda perenne de la piedra filosofal que convertiría todo aprendizaje en un "reventón".)

En el problema que a continuación planteo debe suponerse conocido el teorema siguiente:

Si en un triángulo ABC se toman los puntos P en BC, Q en CA y R en AB de tal manera que las rectas QR, RP y PQ cortan a BC, CA, y AB en los puntos P', Q' y R' respectivamente, entonces los puntos P', Q' y R' son colineales si y sólo si las rectas AP, BQ y CR son concurrentes. (Ejecicio: demostrarlo aplicando el teorema de Menelao.)

El problema que deseo plantear aquí es el siguiente:

Si (bajo las condiciones del teorema anterior) las rectas AP, BQ y CR son concurrentes ¿qué se puede decir de las rectas AP, BQ' y CR'?

Solución:

Es fácil darse cuenta que la respuesta es que son concurrentes. Pero a tal respuesta sólo se llega después de llegar a ver que, además del triángulo PQR, hay otro triángulo que cumple las mismas condiciones que PQR; sólo que está afuera del triángulo ABC. Tal triángulo es el PQ'R'.

Véase:

A-->P en BC..........................A-->P en BC

B-->Q en CA..........................B-->Q' en CA

C-->R en AB..........................C-->R' en AB


AP, BQ y CR concurren................AP, BQ' y CR' concurren

si y sólo si.........................si y sólo si

AB.PQ=R'.............................AB.PQ'=R
BC.QR=P'.............................BC.Q'R'=P'
CA.RP=Q'.............................CA.R'P=Q

alineados............................alineados

Pero R, Q y P' están alineados por hipótesis, pues P' es intersección de BC y QR y por lo tanto está en la recta QR.

Ahora bien, lo que me interesa destacar aquí es que el resolver este tipo de problemas (o demostrar este tipo de teoremas) es una tarea que, además de que es gran consumidora de tiempo, requiere tener conocimientos de geometría que también necesitaron dedicarles tiempo para su aprendizaje. Y si el adolescente se cree la promesa de los pedagogos populistas nunca va a estar dispuesto a dedicarle más de 5 minutos a resolver un problema de matemáticas. Desde este punto de vista se puede decir que la escuela promueve la ignorancia.

Everybody seems to think I'm lazy
I don't mind, I think they're crazy
Running everywhere at such a speed
Till they find, there's no need

(I'm Only Sleeping, The Beatles)

Finalmente déjenme platicarles que anduve en el DF la semana del Congreso de la Sociedad Matemática Mexicana (24-28 de octubre) y, después de vivir tres días en el mundo abstracto encontré en el Zócalo un modo de desestresarme y regresar a la postmodernidad: me decidí por la psiquiatría alternativa de un brujo azteca.