Diferencias Finitas

Back in school again Maxwell (PEPE) plays the fool again. /Teacher gets annoyed.
Wishing to avoid and unpleasant /Sce, e, e, ene, /She tells Max to stay when the class has gone away, /So he waits behind /Writing fifty times "I must not be/So, o, o, o...

MAXWELL'S SILVER HAMMER (The Beatles, Abbey Road)

Bueno, déjenme contarles que ahora estuve leyendo el Hall & Knight, un libro de algebra legendario quizá porque es demasiado exigente con el lector. El tema: diferencias finitas como método para obtener el término n-ésimo de una sucesión, y la suma de la sucesión hasta n términos. Y me pregunté ¿por qué esos métodos tan elementales no son conocidos en las matemáticas escolares? La respuesta creo que puede estar en la cultura matemática escolar: si nadie los usa, el resultado previsible es que su conocimiento público tiende a extinguirse; es la fuerza de las medidas de desempeño (estándares) impuestas por la comunidad y su medio ambiente.

Pero dejemos a un lado la filosofía y la ciencia social (y la teoría de la evolución) y veamos cómo funciona el método.

Si tenemos una sucesión u_1, u_2, u_3, ..., a las diferencias de pares de términos consecutivos se les llama diferencias de primer orden, a las diferencias de éstas se les llama diferencias de segundo orden, etc. Así, d_1(u_1)=u_2-u_1, d_1(u_2)=u_3-u_2, etc. Y d_2(u_1)=d_1(u_2)-d_1(u_1), d_2(u_2)=d_1(u_3)-d_1(u_2), etc.

La notación puede ser atemorizante; por eso es mejor ver un ejemplo:

12....40....90....168....280...432...............................................u_k

...28....50....78.....112...152..............................................d_1(u_k)

......22....28.....34.....40.................................................d_2(u_k)

.........6......6......6.....................................................d_3(u_k)

.............0......0........................................................d_4(u_k)


(Los puntos los puse para propósitos de alineación.)

Si nos fijamos en que u_2=u_1 +d_1(u_1)--y, en general, cada término en el triángulo es igual al de su izquierda más el que está inmediatamente abajo: 50=28+22, por ejemplo-- entonces se logra una fórmula para el término n-ésimo que sigue la ley del binomio de Newton en sus coeficientes.

u_n= u_(n-1)+d_1(u_(n-1)) y se expande d_1 en términos de la ley de formación descrita arriba. (Su expansión se deja como ejercicio.)

Como una entrada (y ayuda) veamos la expansión de u_2 y de u_3:

u_2=u_1+d_1(u_1)

u_3=u_2+d_1(u_2)=[u_1+d_1(u_1)]+[d_1(u_1)+d_2(u_1)]=u_1+2d_1(u_1)+d_2(u_1)

u_4=u_3+d_1(u_3)=[u_1+2d_1(u_1)+d_2(u_1)]+d_1(u_2)+d_2(u_2)

................=[u_1+2d_1(u_1)+d_2(u_1)]+

......................+d_1(u_1)+d_2(u_1)+

...............................+d_2(u_1)+d_3(u_1)

Por tanto: u_4=u_1+3d_1(u_1)+3d_2(u_1)+d_3(u_1)

Se puede ver que los coeficientes son los del binomio al cubo. Si se continuara la expansión se vería que u_n=u_1+C(n-1,1)d_1(u_1)+C(n-1,2)d_2(u_1)+C(n-1,3)d_3(u_1)+...
(C(n-1,k) significa "combinaciones de n-1 en k".) Se demuestra usando inducción matemática. (También se deja como ejercicio.)

Para el ejemplo de arriba u_n=12+28(n-1)+1/2[22(n-1)(n-2)]+1/6[6(n-1)(n-2)(n-3). Es decir, u_n=n^3+5n^2+6n.

Los saluda JMD en VL

Nota sobre la notación matemática: el problema no resuelto de la notación matemática en la web me obliga a utilizar el modo texto; u_k significa u subíndice k, n^k significa n elevado a la potencia k; ...