¿Cuánto tiempo se requiere para cruzar Abbey Road?

Eleonora estuvo en Londres en junio y le pedí que se tomara una foto en Abbey Road (en el punto exacto en que cruzaron los genios de Liverpool para la portada de ese disco ya legendario) como un recuerdo para su padre. Aparte me trajo un llavero. Las gracias le sean dadas.

Pero como este blog es de matemáticas, permítaseme plantear este problema (adaptada su redacción de E. J. Barbeau, M. S. Klamkin, and W. O. J. Moser, Five Hundred Mathematical Challenges, Mathematical Association of America, 1995).

Eleonora viaja regularmente a Londres e invariablemente toma el mismo tren de regreso a casa, el cual llega a la estación del pueblo en donde vive a las 5 PM. A esa misma hora llega su chofer, la recoge rápidamente y la lleva a casa. Un buen día Eleonora toma el tren más temprano y llega a la estación a las 4 PM. En vez de llamar a su chofer, o esperarlo hasta las 5, Eleonora emprende la caminata rumbo a casa. En el camino encuentra a su chofer quien la recoge rápidamente y la lleva a casa, a la cual llegan 20 minutos antes de lo usual. Unas semanas después, en otro buen día, Eleonora toma un tren más temprano y llega a la estación a las 4:30 PM. Al igual que la vez anterior, emprende la caminata rumbo a casa. Como antes, en el camino se encuentra a su chofer quien la recoge rápidamente y la lleva a casa. ¿Cuántos minutos antes de lo usual llega esta vez Eleonora a casa?

Solución: Este es un problema elemental extremadamente difícil. Posiblemente porque existe una fuerte tendencia a verlo como un problema de velocidades: uno busca calcular las velocidades del auto y la de Eleonora (la presuposición es obviamente la de velocidad constante --como en cualquier problema de velocidades). El framing de velocidades es desesperante porque "faltan datos": no hay distancias ni tiempos.

El framing que hace el truco de iluminación es de distancias. Pero distancias en términos de tiempo. Me explico: la casa está a una distancia de t minutos de la estación. Y aunque no sepamos el valor de t, podemos ver que el punto de referencia es el recorrido del chofer, quien va a la estación y regresa en 2t minutos --usualmente. Sale a las 5-t y regresa a casa a las 5+t. (Una imagen que puede ayudar a visualizar la situación es imaginar una cuerda de 2t de largo. Así que si le sobraron 20 minutos a la cuerda...)

Después de meditarlo un rato es posible que la iluminación llegue: el chofer encontró a Eleonora a 10 minutos de la estación. Y como usualmente llega a la estación a la 5 entonces la encontró a las 4:50 PM. Se sigue que lo que recorre el auto en 10 minutos, lo recorre Eleonora en 50. (La razón de velocidades es de 1:5)

Por eso, cuando Eleonora llegó a la estación a las 4:30, el chofer la encontró a una distancia de 5 minutos (de auto) de la estación, es decir, a las 4:55 PM; y llegaron a la casa 10 minutos antes de lo usual.

(Nótese también que la estación a las 5 PM es el punto de referencia contra el cual se calculan las distancias en tiempo de auto.)

Los saluda
JMD en VL