Blog colectivo orientado a matemáticas de concurso tipo olimpiada. Temas centrales: geometría, combinatoria, teoría de números, algebra. Temas de apoyo: lógica y razonamiento matemático. Intenta llegar a ser inteligencia matemática distribuida.

Thursday, January 12, 2006

Efecto de retrospectiva en educación matemática

Efecto de retrospectiva en educación matemática

Por alguna razón (documentada en la literatura de la psicología cognitiva por Daniel Kahneman) muchos pedagogos creen que la solución de un problema matemático (de matemáticas escolares) puede ser descubierta por cualquier aprendiz. Pero es fácil comprobar que incluso el profesor puede tener dificultades para descubrirla (o redescubrirla).

En estos días estaba diseñando un módulo de instrucción sobre el uso de los números complejos en la solución de problemas geométricos. En cierto momento se requería justificar (demostrar) que la multiplicación por el complejo z = r(cost + isent) ejecuta dos acciones sobre el otro complejo z' (multiplicado por z): lo alarga r veces y lo gira t grados.

Y la demostración de este resultado necesitaba, a su vez, las fórmulas del seno y el coseno de la suma de ángulos. Unas fórmulas ampliamente usadas sin que nadie se pregunte el porqué son válidas. Son unas fórmulas en cierto modo ya "naturales", su uso está nauralizado en la solución de problemas. Pero, considerando que la audiencia a que se dirige el módulo de instrucción que me ocupaba es la de adolescentes interesados en las matemáticas de concurso, entonces yo mismo sentí la necesidad de demostrar esas fórmulas. (Aquí entra el juicio personal, pues es difícil decidir en una situación didáctica qué decir y qué callar... pero...)

Y me dije: "pan comido". Esto debe estar muy fácil... Pero no. La idea clave de la demostración no me llegó, a pesar de que estaba convencido de que debía ser muy fácil. Así que tuve que recurrir a un libro. Encontré adecuado el Dolciani (Modern Introductory Analysis), un muy buen libro de matemáticas escolares a pesar de ser setentero (quiero decir, de la época de la moda axiomática).

Yo había visto y demostrado el teorema alguna vez, así que al consultar el Dolciani experimenté un redescubrimiento y me sentí un poco avergonzado conmigo mismo. ¡Porque la idea clave es extremadamente simple! (Se trata de la clásica: "expresa la cantidad de dos modos diferentes, igualas y despejas") Y sí, es difícil no concluir --en estos casos-- que "a cualquiera se le puede ocurrir".

El lector puede considerar la siguiente figura como una prueba "casi sin palabras" de la fórmula del coseno de la suma de ángulos. Sólo tiene que "ver" que PQ=P'Q', aplicar la fórmula de distancia entre dos puntos y despejar.



Pero lo que deseo destacar aquí es que ese sentimiento de "a cualquiera se le puede ocurrir" es una especie de conclusión en reversa: "ahora que ví la solución me parece trivial; por lo tanto siempre fue trivial".

Permítaseme terminar estas reflexiones con una moraleja didáctica. Lo que parece ser el caso, tratando de escapar a las "ilusiones ópticas" del efecto de retrospectiva, es que una idea, por más simple que pueda parecer vista en retrospectiva, puede permanecer inaccesible para la cognición del aprendiz sin la ayuda de una sugerencia de parte del instructor. Pero también se puede afirmar que tales ideas son ejemplares y deben mantenerse accesibles en la memoria del cognizador interesado en las matemáticas de concurso. ¿Cómo hacerlo? Bueno, eso sería tema de otro post, pero podría ayudar empezar con un inventario de ideas clave para la solución de problemas de concurso --a la manera en que un jugador de ajedrez estudia incansablemente las aperturas, los finales, y las tácticas del medio juego.

JMD en VL les desea un feliz (o de perdido no tan infeliz) 2006

1 Comments:

Blogger howardmarks1980 said...

I read over your blog, and i found it inquisitive, you may find My Blog interesting. My blog is just about my day to day life, as a park ranger. So please Click Here To Read My Blog

http://www.juicyfruiter.blogspot.com

8:14 PM

 

Post a Comment

<< Home