matemáticas, edu-reforma y modos de vida

Lugares geométricos: ¿a quién le importan?



Apertura

Es muy conocido el lugar geométrico de un punto que se mueve permaneciendo siempre a la misma distancia de sendos puntos fijos A y B. Es decir, el punto X se mueve en el plano de tal manera que AX=XB o, equivalentemente, AX-XB=0. Bueno, quiero decir, ...muy conocido para quien ya lo ha visto y usado alguna vez o muchas veces. Se trata de la mediatriz del segmento AB, es decir la perpendicular a AB por su punto medio.

Desarrollo

La forma analítica de ver este resultado es ubicar en el plano cartesiano las coordenadas de los puntos A y B en la forma más simple posible: A=(a,0) y B=(b,0). Entonces, si X=(x,y), aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos para obtener

(x-a)^2+y^2=(x-b)^2+y^2,

de donde obtenemos

x-a=x-b o x-a=-x+b.

De la primera ecuación se obtiene a=b y se tiene que no hay segmento AB pues ambos puntos coinciden (y nada podemos concluir).

De la segunda se obtiene x=(a+b)/2. Y éste es el resultado que buscamos.

Pero este resultado analítico requiere de una "traducción". Primero hay que "leer" en él que si la abscisa (del punto X que se mueve) permanece constante, entonces el punto X describe una recta perpendicular al eje x (se mueve paralelo al eje y pues
siempre permanece a la misma distancia (a+b)/2 de él). En segundo lugar hay que "leer" que (a+b)/2 es el punto medio entre A y B.

Cierre

Pero, ¡momento! este discurso está planteado desde el punto de vista del profesor. Veamoslo ahora desde el punto de vista del adolescente de 16 que está tomando su primer curso de geometría analítica. ¿Qué sabe y qué no sabe?

Suponiendo que entiende el lenguaje natural del idioma español, hay de cualquier manera algunos términos que posiblemente no conoce:

¿lugar geométrico?
¿distancia?
¿putos fijos?
¿mediatriz?
¿coordenadas?
¿punto medio?
¿forma analítica?
¿plano cartesiano?
¿abscisa?

El profesor que reflexione sobre estos posibles desconocimientos puede quedar paralizado y concluir que la educación matemática es imposible. Porque, además, la reforma educativa vigente podría estar exigiendo no sólo que aprenda esos
conceptos sino que los aprenda significativamente.

Pero "significativamente" es un adjetivo con mil interpretaciones...
y la dominante parece ser la de 1)formar equipos, 2)involucrarlos en alguna actividad que se crea adecuada, 3)discusión y 4)conclusión...

Y la clave de esta interpretación es la de "actividad", de tal manera que el aprendizaje de contenidos relevantes (punto de vista de la disciplina) ha sido sustituido, en la práctica, por ejecución de actividades significativas para el alumno (punto de vista de los expertos en educación). Ni bueno ni malo es sólo una tendencia de la educación contemporánea.

Apertura 2

Pero veamos este otro lugar geométrico. Datos: segmento AB, constante k, el punto X se mueve de tal manera que AX^2-XB^2=k.

Incógnita: ¿Qué lugar geométrico describe X?

Desarrollo 2

Solución: (Por casos extremos)

Si k=AB^2 entonces AX^2=XB^2+AB^2 y se ve (evocando el teorema de Pitágoras) que el lugar geométrico es una perpendicular a AB por B.

Si k=-AB^2 entonces AX^2+AB^2=XB^2 y se ve (de nuevo por Pitágoras) que el lugar geométrico es una perpendicular al segmento AB pero ahora por A.

Si k=0 entonces se tiene la mediatriz como lugar geométrico descrito por el punto X.

De esos tres casos extremos se puede elaborar la conjetura de que el lugar geométrico buscado es una perpendicular al segmento AB. Y también esta otra idea: k depende del cruce (y el cruce depende de k), de la intersección de la perpendicular con el segmento (con la recta, mejor dicho) AB. (Supongamos que cruza en X', entonces k=AX'^2-XB'^2.)

Se deja como ejercicio para el lector la demostración analítica con X=(x,y), A=(a,0), B=(b,0) y con k cualquiera, de donde debería obtenerse --después de hacer un poco de algebra-- 2(a-b)x=a^2-b^2+k. Como ejercicio también se propone "leer" aquí
la interpretación geométrica en dos partes como en el caso de la mediatriz: ¿cómo sabemos que el lugar geométrico es perpendicular al segmento AB? ¿cómo sabemos dónde corta a la recta AB?

Cierre 2

Me gustaría subrayar aquí, como un comentario de clausura, que en la actividad de solución de problemas de matemáticas escolares se tienen tres momentos bien definidos: una formulación (analítica o sintética) del problema --que usa los datos para definir un plan de solución--, un seguimiento del plan, y una interpretación del resultado que debería responder a la pregunta planteada en el enunciado.

Y a la pregunta del experto en educación "¿en qué se aplica todo esto?", se respondería con "es un entrenamiento". Y si el experto dijera: ¿Un entrenamiento de qué y para qué? Bueno, se trata de un entrenamiento en habilidades cognitivas, al
tiempo que se está entrenando al aprendiz en mostrarle las potencialidades del razonamiento simbólico de las matemáticas.

Y si insiste: ¿Y todo esto en que le va a servir en su vida de adulto? Bueno, todo depende de su modo de vida y de qué prácticas específicas se den dentro de ella... ¿a tí de qué te ha servido no haber desarrollado esas habilidades?

JMD en VL los saluda

(y les obsequia esta foto de cuando fue a comer quesadillas de flor de calabaza a la Facultad de Ciencias de la UNAM --octubre 2005)