Tamaulipas, Zona Centro, Preselección

El problema 1
--de la regional Zona Centro de Tamaulipas-

jmd
21.03.06



El examen preselectivo del sábado 18 de marzo en el CBTIS 236 tiene algunas lecciones para los 16 preseleccionados aspirantes a integrar la selección estatal de la Olimpiada Mexicana de Matemáticas. Sobre todo, sugerencias de entrenamiento. A continuación voy a comentar sobre las sugerencias de entrenamiento que nos dejó el problema de geometría.

El problema

En los catetos AC y BC del triángulo rectángulo ABC se han construido (fuera del triángulo) los cuadrados ADKC y CEMB. De los puntos D y M se bajan perpendiculares DH y MP sobre (sic) la la continuación de la hipotenusa AB. Demuestre que DH+MP=AB.



Elemental pero no tanto. ¿Cómo relacionar MP y DH con AB? El problema ciertamente requiere de una exploración previa.

Una primera asociación es Pitágoras, pero después de meditarlo un poco se ve que PB y HA no podrían ser eliminados de la cadena de igualdades resultante. En todo caso, no exclusivamente Pitágoras.

Semejanza es otra posibilidad. Para el ojo entrenado es fácil ver (o al menos sospechar) que los tres triángulos que aparecen son semejantes.

Solución:

Denominando a, b, c a los lados opuestos a los vértices A, B, C, respectivamente, podemos utilizar el plan previo de usar Pitágoras (a^2+b^2=c^2) y sustituir a y b por semejanza de triángulos.

Claramente los triángulos BMP y DAH son ambos semejantes con el ABC (los ángulos CAB y MBP son iguales por ser correspondientes, y lo mismo es cierto de CBA y HAD).

De aquí que DH/b=b/c y MP/a=a/c. Es decir, a^2=cMP y b^2= cDH, y sustituyendo en Pitágoras se obtiene el resultado: c(MP+DH)=c^2 y ya está.

Comentarios a la solución (desde la perspectiva del aprendiz)

Este problema ningún concursante lo resolvió. Pero ¿por qué es tan difícil? Tratemos de responder viéndolo por partes.

1. Antes de siquiera tener una chance de resolverlo el aprendiz debe poder hacer la figura (no incluida en el examen). La mayoría de los concursantes la dibujó, así que la dificultad no está ahí. Es conveniente, sin embargo, incluir en el entrenamiento ejercicios de trazo geométrico no trivial. (Por ejemplo, dibujar un triángulo con regla y compás dados un ángulo, el lado opuesto y uno de los lados adyacentes.)

2. La evocación de Pitágoras tampoco es problema –de hecho es lo primero que se les ocurrió a la mayoría.

3. La dificultad parece residir en el reconocimiento de semejanzas de triángulos y en la elaboración del plan de solución que combine Pitágoras y semejanza. Esto apunta a un entrenamiento intensivo en semejanza de triángulos con muchos ejercicios, pero también a un entrenamiento en estrategias de solución de problemas geométricos, en una “lectura entre líneas” de los datos y la figura, una interpretación que les permita la elaboración de un plan de solución.

4. Nota sobre la perspectiva de entrenamiento del que esto escribe:

1) Entrenamiento es entrenamiento, y por ello el adoptar una posición de dejar al aprendiz a solas con su propia creatividad es adoptar una perspectiva populista (pero, además, es una contradicción... ¿para que sirve entonces el entrenamiento?);

2) Desgraciadamente esa perspectiva está presente incluso entre los meros cabecillas de la OMM –un ejemplo: Illanes dice en su libro Problemas de Olimpiada que incluyó en la 2ª edición un nuevo capítulo de inducción “casi en contra de mi voluntad pues siempre he pensado que lo que se debe valorar…es la capacidad de los alumnos para resolver problemas y el ingenio que ponen en resolverlos”--

3) Los resultados teóricos siempre son útiles pues dotan al aprendiz con una caja de herramientas lista para usarse a la hora de elaborar el plan de solución, y no le quitan creatividad ni ingenio sino que más bien los fortalecen.

Solución alternativa

Esta solución es más sutil, pues requiere entrenamiento para ver el movimiento de las figuras con los ojos de la mente.

Un entrenamiento en geometría dinámica (con el CABRI, por ejemplo), dotaría al aprendiz con un menú más amplio de ideas creativas en el momento de elaborar un plan de solución. Podría ocurrírsele, por ejemplo, que los triángulos en los extremos podrían ser girados y…

Al girar el triángulo BMO, sobre el centro B, 90 grados se obtiene el triángulo BCP’. Girando -90 el ADH sobre A se obtiene el ACH’.



Y el plan de solución ya casi está… (Se está viendo el resultado, sólo que todavía falta demostrarlo.)


Si llamamos C’ al pie de la perpendicular a AB bajada desde C, el plan consistiría en demostrar congruencia entre los pares de triángulos BMP y CBC’, ADH y CAC’.

El poder cognitivo que adquiere el aprendiz con un entrenamiento en transformaciones geométricas es enorme. Y esto es en particular cierto en la elaboración del plan de solución. (Notemos, de paso, que una solución oficial iniciaría “sea C’ el pie de la perpendicular…” Es decir, esconde precisamente lo que el aprendiz más necesita: los métodos de razonamiento que llevan a la elaboración del plan de solución.)


JMD en VL los saluda