Peleando con el Spivak

Contraseña de identidad matemática:

A: ¿Te ha gustaado el Spivak?
B: Dos dos. Por lo menos es el que usa el profe de cálculo.
A: ¿Y lo tienes?
B: Yep
A: ¿Y el manual de soluciones?
B: Shhh. No se lo digas a nadie...
A: ¿En inglés?
B: Yep
A: ¿Pasta dura?
B: ¡Nah! En copias. Deja sacarme la lotería: son 100 dólares en Amazon... no soy tan fanático!

A continuación uno de los problemas de series. La solución se resume así (hay que ver la discusión de abajo para justificar cada paso):

ma_m = (m-n+n)a_m = (m-n)a_m + na_m < (m-n)a_m + ma_m = (m-n)a_m + [m/(m-n)](m-n)a_m --> 0 + 1*0=0 cuando m tiende a infinito.

El problema:

Supón que la sucesión {a_n} es decreciente y que cada a_n>=0. Prueba que si la suma desde 1 hasta infinito de a_n converge, entonces lim n->inf {n*a_n}=0
Sugerencia: Recuerda que toda sucesión convergente es de Cauchy.

Solución del antispivak (en inglés) y comentarios llenahuecos (en español):

(Recordar aquí –respecto a la sugerencia-- que una sucesión de Cauchy tiene la propiedad (por ella toma el nombre de ser Cauchy) siguiente: la distancia entre a_n y a_m es pequeña si n y m son grandes – o sea, dado un épsilon positivo existe un N para el cual Abs(a_m – a_n) < épsilon para todo m, n mayores que N)

(En este caso la sucesión convergente es la de las sumas parciales de los términos de {a_n}, es decir, S_n = Suma {1 hasta n} a_i. Así, a_n+...+a_m = S_m – S_n-1 y, entonces, dado un épsilon, podemos escoger n lo suficientemente grande para que se cumpla S_m – S_n < épsilon --por ser {S_n} Cauchy, dado que converge-- como dice Spivak abajo.)

Choose n so that a_n+...+a_m < epsilon. Then (m-n)a_m <= a_n+...a_m < epsilon.

(La segunda proposición de Spivak aquí arriba se sigue del hecho de que a_n es decreciente: el último sumando es mas pequeño que cada uno de los anteriores.)

Since lim m-->infinito {m/(m-n)}=1 and ma_m=((m)/(m-n))*(m-n)a_m, it follows that ma_m < 2epsilon for sufficiently large m.


(Nótese que m/(m-n) = 1/(1-n/m) -->1 cuando m tiende a infinito. Por eso, m/(m-n) < 1+épsilon < 2 para m lo suficientemente grande --recuérdese que épsilon es positiva pero muy pequeña.)


JMD en VL recibe gustosamente cualquier comentario y reconoce que su llenado de los huecos podría tener errores. (¿Por qué tiene que dejar tantos huecos a ser llenados el Spivak?)