problemas spivak

6. Supón que {a_n} es decreciente y que cada a_n>=0. Prueba que si la suma desde 1 hasta infinito de a_n converge, entonces lim n->INF n*a_n=0
Sugerencia: Recuerda que toda sucesión convergente es de Cauchy.

Sol. spivak.
Choose n so that a_n+...+a_m < epsilon. Then (m-n)a_m<=a_n+...a_m
Since lim m->INF m/(m+n)=1 and ma_m=((m)/(m-n))*(m-n)a_n, it follows that ma_m<2epsilon for sufficiently large m.

5. a) Prueba que si ____ ____ _____
\ (a_n)² y \ (b_n)² convergen, entonces \ a_n*b_n converge absolut.
/ / /
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Sol. Spivak.
a) By probelm 2-21 we have |a_n*b_n+...+a_m*b_m|<=sqrt((a_n)²+...+(a_m)²)*sqrt((b_n)²+...+(b_m)²)
This shows that the Cauchy condition for {(a_n)²} and {(b_n)²} implies that the Cauchy condition for {a_n*b_n}


7. Decide en cada cado si la serie converge o diverge

a) ____
\ 1/(sqrt (n(n+1)) )
/
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